Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点（不与A，B重合），作射线DE并绕点D逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连结EF．

探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF．

应用：（1）当点E在边AB上，且AD=2时，则△BEF的周长是______．

（2）当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是______．

Answer 1

【答案】4EF=CF-AE或EF=AE-CF

【解析】

探究：作辅助线，构建全等三角形，证明△DAG≌△DCF（SAS），得∠1=∠3，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），根据EG的长可得结论；
应用：
（1）利用探究的结论计算三角形周长为4；
（2）分两种情况：①点E在BA的延长线上时，如图2，EF=CF-AE，②当点E在AB的延长线上时，如图3，
EF=AE-CF，两种情况都是作辅助线，构建全等三角形，证明两三角形全等得线段相等，根据线段的和与差得出结论．

探究：证明：如图，延长BA到G，使AG=CF，连接DG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠DAG=∠DCF=90°，

∴△DAG≌△DCF（SAS），

∴∠1=∠3，DG=DF，

∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，

∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF，

∵DE=DE，

∴△GDE≌△FDE（SAS），

∴EF=EG=AE+AG=AE+CF；

应用：

（1）△BEF的周长=BE+BF+EF ，

由探究得：EF=AE+CF，

∴△BEF的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，

故答案为：4；

（2）当点E不在边AB上时，分两种情况：

①点E在BA的延长线上时，如图2，

EF=CF-AE，理由是：

在CB上取CG=AE，连接DG，

∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC，

∴△DAE≌△DCG（SAS）

∴DE=DG，∠EDA=∠GDC

∵∠ADC=90°，

∴∠EDG=90°

∴∠EDF+∠FDG=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDG=90°-45°=45°，

∴∠EDF=∠FDG=45°，

在△EDF和△GDF中，

∵DE=DG，∠EDF=∠GDF，DF=DF

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，

∴EF=CF-CG=CF-AE；

②当点E在AB的延长线上时，如图3，

EF=AE-CF，理由是：

延长BC到G,使CG=AE, 连接DG，

∵DA=DC,∠DAE=∠DCG=90°, CG=AE

∴△DAE≌△DCG

∴DE=DG, ∠ADE=∠CDG.

∴∠ADE+∠EDC=∠CDG+∠EDC=90.

即：∠ADC=∠EDG=90，

∵∠EDF=45°，

∴∠GDF=90°-45°=45°，

∴∠EDF=∠GDF，

∵DF=DF，∠EDF=∠GDF，DE=DG

∴△EDF≌△GDF，

∴EF=GF，

∴EF=CG-CF=AE-CF；

综上所述，当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是：EF=CF-AE或EF=AE-CF；