Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（6，0）（如图1）．
（1）当α=60°时，△CBD的形状是

 

；
（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式；
（3）当α=90°时，（如图2）．请探究：经过点D，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）可利用旋转前后对应线段相等得出BC=CD，∠BCD=60°，所以△CBD为等边三角形；
（2）可利用勾股定理求出H点坐标，从而求出FC的解析式；
（3）因为已知抛物线顶点的坐标，故而设y=a（x-6）²+4，把点D坐标代入可求出a值．然后可求出函数解析式，然后再把M点坐标代入检验．

解答：解：（1）∵图形旋转后BC=CD，∠BCD=∠α=60°
∴△BCD是等边三角形；

（2）设AH=x，则HB=AB-AH=6-x，
依题意可得：AB=OC=6，BC=OA=4，
在Rt△BHC中，HC²=BC²+HB²，
即x²-（6-x）²=16，
解得x=

13

3

．
∴H（

13

3

，4）．
设y=kx+b，把H（

13

3

，4），C（6，0）代入y=kx+b，
得

13 3 k+b=4 6k+b=0

解得

k=- 12 5 b= 72 5

∴y=-

12

5

x+

72

5

．

（3）抛物线顶点为B（6，4），
设y=a（x-6）²+4，
把D（10，0）代入得：a=-

1

4

．
∴y=-

1

4

（x-6）²+4（或y=-

1

4

x²+3x-5）．
依题可得，点M坐标为（8，3），
把x=8代入y=-

1

4

（x-6）²+4，得y=3．
∴抛物线经过矩形CFED的对称中心M．

点评：本题为关于旋转的综合题．考查了等边三角形的判定、一次函数解析式的确定、矩形的性质等知识．