在△ABC中.CA=CB.在△AED中.DA=DE.点D.E分别在CA.AB上．(1)如图①.若∠ACB=∠ADE=90°.则CD与BE的数量关系是 ,(2)若∠ACB=∠ADE=120°.将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置.则CD与BE的数量关系是 ,.(3)若∠ACB=∠ADE=2α.将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置.探究线段CD与BE的数量关系.并� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在△ABC中，CA=CB，在△AED中，DA=DE，点D、E分别在CA、AB上．
（1）如图①，若∠ACB=∠ADE=90°，则CD与BE的数量关系是

；
（2）若∠ACB=∠ADE=120°，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是

；，
（3）若∠ACB=∠ADE=2α（0°＜α＜90°），将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）．

考点：相似形综合题

专题：计算题

分析：（1）作DM∥AB，交BC于点M，由已知求出四边形EBMD是平行四边形，得出DM=BE，利用等腰直角三角形求出DM=

CD，进而得出BE=

CD；
（2）由

，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，得出△CAD∽△BAE，得出BE=

CD；
（3）分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，在Rt△ACM和Rt△ADN中，得出

=sinα，

=2sinα，又∠CAD=∠BAE，求出△BAE∽△CAD，得出

=2sinα，即可得出BE=2DC•sinα．

解答：

解：（1）如图①，作DM∥AB，交BC于点M，
∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，
∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，
∴DE∥BC，
∴四边形EBMD是平行四边形，
∴DM=BE，
∵DM∥AB，
∴∠CDM=45°，
∴DM=

CD，
∴BE=

CD；
故答案为：BE=

CD；
（2）如图②，

∵CA=CB，∠ACB=120°
∴∠CAB=∠CBA=30°，
∴AB=

AC，
同理AE=

AD，
∴

，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，
∴△CAD∽△BAE，

∴BE=

CD；
故答案为：BE=

CD；
（3）BE=2CD•sinα，
证明：如图③，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，

∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，
∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM=

AB，AN=

AE．
∴∠CAD=∠BAE，
Rt△ACM和Rt△ADN中，
sin∠ACM=

，sin∠ADN=

，
∴

=sinα，
∴

=2sinα，
又∵∠CAD=∠BAE，
∴△BAE∽△CAD，
∴

=2sinα
∴BE=2DC•sinα．

点评：本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用邻边及夹角的关系来求出两三角形相似．

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②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．