Question

如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为

BC

的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论一定错误的是（　　）

• A、DE是⊙O的切线
• B、直径AB长为20cm
• C、弦AC长为16cm
• D、C为

  AD

  的中点

Answer 1

分析：AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF是矩形，根据垂径定理即可求得半径．

解答：解：连接OD，OC．
∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC，
∴DE是圆的切线．故A正确；
∴DE²=CE•AE
即：36=2AE
∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确；
∵AB是圆的直径．
∴∠ACB=90°，
∵DE垂直于AC的延长线于E．
D是弧BC的中点，则OD⊥BC，
∴四边形CFDE是矩形．
∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm．
在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=

AC2+BC2

=

162+122

=20cm．故B正确；
在直角△ABC中，AC=16，AB=20，
则∠ABC≠30°，
而D是弧BC的中点．
∴弧AC≠弧CD．
故D错误．
故选D．

点评：本题主要考查了垂径定理，以及切割线定理，利用垂径定理可以把圆的弦、半径的计算转化为解直角三角形．