Question

8．如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形），矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4 m，∠ABC=60°．设AE=x m（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为Sm²．求：
（1）S与x之间的函数关系式；
（2）花坛的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，再根据矩形的面积公式即可得出S与x的函数关系式；
（2））由△ABC是等边三角形，得出AC=AB=4m．设AC与BD交于点O．解直角△OAB，求出OB=AB•sin∠OAB=2$\sqrt{3}$m，则BD=2OB=4$\sqrt{3}$m，再根据菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD，计算即可求解．

解答 解：（1）连接AC、BD，
∵花坛为轴对称图形，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
同理，得到△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=AB-AE=（4-x）m，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
则EM=AEcos∠AEM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$xm，
∴EH=2EM=$\sqrt{3}$xm．
∵矩形EFGH的面积=EF•EH，
∴S=（4-x）×$\sqrt{3}$x=-$\sqrt{3}$x²+4$\sqrt{3}$x；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4m．
设AC与BD交于点O．
在直角△OAB中，∵∠AOB=90°，∠OAB=60°，AB=4m，
∴OB=AB•sin∠OAB=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（m），
∴BD=2OB=4$\sqrt{3}$m，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$（m²），
即花坛的面积为8$\sqrt{3}$m²．

点评 本题考查了菱形的性质，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键．