Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0），B（0，2），点C在x轴上，且∠ABC=90°．
（1）求点C的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使∠PAC=∠BCO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设C点坐标为（x，0）（x＞0），可得AC=x+1，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，由勾股定理可得（x+1）²=5+（$\sqrt{{x}^{2}+4}$），解方程可求x，进一步得到点C的坐标；
（2）根据待定系数法可求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）由∠PAC=∠BCO可得tan∠PAC=tan∠BCO，设P点坐标为（x，y），再分两种情况：P点在x轴上方时；P点在x轴下方时；进行讨论可求点P的坐标．

解答 解：（1）设C点坐标为（x，0）（x＞0），则AC=x+1，AB=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，
由勾股定理可得（x+1）²=5+（$\sqrt{{x}^{2}+4}$）²，
解得x=4．
故点C的坐标为（4，0）；
（2）设经过A，B，C三点的抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
依题意有$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=2}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故经过A，B，C三点的抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（3）∵∠PAC=∠BCO，
∴tan∠PAC=tan∠BCO，
设P点坐标为（x，y），tan∠BCO=$\frac{1}{2}$，
P点在x轴上方时，y＞0，
tan∠PAC=$\frac{y}{x+1}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{\frac{y}{x+1}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
-x²+3x+4=x+1，
x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
∵y＞0，
∴x=3，
∴点P的坐标为（3，2）；
P点在x轴下方时；y＜0，x＞0，
tan∠PAC=-$\frac{y}{x+1}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\\{-\frac{y}{x+1}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
x²-3x-4=x+1，
x²-4x-5=0，
（x-5）（x+1）=0，
∵x＞0，
∴x=5，
∴点P的坐标为（5，-3）．
综上可得，点P的坐标为（3，2）或（5，-3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、三角函数等．关键是方程思想的应用，分类思想的应用，涉及面较广，要认真对待．