Question

如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=

5

，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为

 

．

Answer 1

分析：根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出MO的长，然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出DN的长，再计算AMCN的面积．

解答：
解：设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=

2

2

，
∵MO=

AM2-AO2

=

( 5 )2-( 2 2 )2

=

3 2

2

，
∴MB=MO-OB=

2

，
又∵∠ABM=∠NDA=135°，∠NAD=∠MAN-∠DAB-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB=∠AMB，
∴△ADN∽△MBA，故

AD

MB

=

DN

BA

，从而DN=

AD

MB

•BA=

1

2

×1=

2

2

．
根据对称性可知，四边形AMCN的面积：S=2S_△MAN=2×

1

2

×MN×AO=2×

1

2

（

2

2

+

2

+

2

）×

2

2

=

5

2

．
故答案是：

5

2

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质，运用勾股定理求出相应线段的长，再根据∠MAN=135°和∠BAD=90°，得到相似三角形，用相似三角形的性质求出DN的长，然后根据对称性求出四边形的面积．