Question

10．（1）求函数y=2x+$\sqrt{4-3x}$的最大值；
（2）代数式4-x²-$\sqrt{1-{x}^{2}}$达到最小值时，x的值为$±\frac{\sqrt{3}}{2}$；
代数式4-x²-$\sqrt{1-{x}^{2}}$达到最大值时，x的值为±1或0．

Answer 1

分析 （1）设$\sqrt{4-3x}$=t，（t≥0），则原函数化为y=-$\frac{2}{3}$（t-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{73}{24}$，即可得出结论；
（2）设$\sqrt{1-{x}^{2}}$=t，（0≤t≤1），原代数式转化为y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，利用自变量的范围即可得出结论．

解答 解：（1）设$\sqrt{4-3x}$=t，（t≥0），
∴4-3x=t²，
∴x=$\frac{1}{3}$（-t²+4），
∴y=2×$\frac{1}{3}$（-t²+4）+t=-$\frac{2}{3}$（t²-$\frac{3}{2}$t）+$\frac{8}{3}$=-$\frac{2}{3}$（t-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{73}{24}$，
∴当t=$\frac{3}{4}$，即：x=$\frac{55}{48}$时，y_最大=$\frac{73}{24}$；
∴函数y=2x+$\sqrt{4-3x}$的最大值为$\frac{73}{24}$；
（2）∵1-x²≥0，
∴-1≤t≤1，
设$\sqrt{1-{x}^{2}}$=t，（0≤t≤1），
∴x²=1-t²，
设y=4-x²-$\sqrt{1-{x}^{2}}$=4-（1-t²）-t=t²-t+3=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，
∵0≤t≤1，
∴当y有最小值时，t=$\frac{1}{2}$，即：$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴x=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即：代数式4-x²-$\sqrt{1-{x}^{2}}$达到最小值时，x=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当y有最大值时，（t-$\frac{1}{2}$）²最大，
∴t=0或t=1，
当t=0时，x=±1，
当t=1时，x=0，
即：代数式4-x²-$\sqrt{1-{x}^{2}}$达到最大值时，x=±1或0，
故答案为±$\frac{\sqrt{3}}{2}$；±1或0．

点评 本题考查了函数的最值问题．解题时，采用了“换元法”和“转化思想”，将原问题转化为求函数的极值的问题，根据函数图象的增减性来求函数的极值．使问题变得形象、直观、简单了．