Question

4．如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（3，0），以A、B为直径的圆⊙P交y轴的正半轴于点C，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）求出点C的坐标及抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△AMC的周长最小，若存在，求出点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，延长AC交抛物线的对称轴于点N，抛物线的顶点为D，则ND，DM，MP之间有何数量关系，请说明理由；
（4）在对称轴右侧的抛物线上是否存在一点E，使得△ACE为等腰三角形？若存在，请求出E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定PC=PB=2，则OP=OB-PB=1，再利用勾股定理计算出OC=$\sqrt{3}$，则C（0，$\sqrt{3}$），设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）连接BC交抛物线的对称轴于M点，如图1，利用两点之间线段最短可得到此时△AMC的周长最小，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$，然后计算当x=1时的函数值即可得到M点坐标；
（3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，则可得到N点坐标，再求出D点坐标，然后计算出DN、DM、MP，从而得到ND，DM，MP之间有何数量关系
（4）先计算出AC=2，作CE∥x轴交抛物线于E点，如图2，则点E与点C关于直线x=1对称，则CE=2，于是可判断△ACE为等腰三角形，此时E（2，$\sqrt{3}$）；作PH⊥AC于H，PH交抛物线于E′，如图2，证明PH垂直平分AC，则可判断△E′AC为等腰三角形，利用待定系数法求出直线PH的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然后通过解方程组可得到E′点的坐标．

解答 解：（1）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3+1=4，
∴PC=PB=2，
∴OP=OB-PB=1，
在Rt△OPC中，OC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C（0，$\sqrt{3}$），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，$\sqrt{3}$）代入得a•1•（-3）=$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）存在．
当MC+MA的值最小时，△AMC的周长最小，
连接BC交抛物线的对称轴于M点，如图1，
∵MA=MB，
∴MA+MC=MB+MC=BC，此时△AMC的周长最小，
∵P（1，0）
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$，
当x=1时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴当M（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）时，△AMC的周长最小
（3）DN=DM=MP．理由如下：
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（-1，0），C（0，$\sqrt{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-p+q=0}\\{q=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\sqrt{3}}\\{q=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
当x=1时，y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，则N（1，2$\sqrt{3}$），
当x=1时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则D（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴DN=2$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，DM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，MP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DN=DM=MP；
（4）在Rt△AOC中，∵OA=1，OC=$\sqrt{3}$，
∴AC=2，
作CE∥x轴交抛物线于E点，如图2，则点E与点C关于直线x=1对称，
∴CE=2，
∴△ACE为等腰三角形，此时E（2，$\sqrt{3}$）；
作PH⊥AC于H，PH交抛物线于E′，如图2，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴PH∥BC，
而P点为AB的中点，
∴H点为AC的中点，
∴PH垂直平分AC，
∴E′A=E′C，
∴△E′AC为等腰三角形，
设直线PH的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+k，
把P（1，0）代入得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+k=0，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线PHy=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{51}}{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{51}}{6}}\end{array}\right.$
而点E在对称轴右侧的抛物线上，
∴E′（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{51}}{6}$），
综上所述，满足条件的E点坐标为（2，$\sqrt{3}$）或（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{51}}{6}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰三角形的判定、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；理解坐标与图形的性质．