Question

如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．
（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值．

Answer 1

分析：（1）由四边形ACED是平行四边形，可得AC∥DE，又由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可证得：△PCQ∽△RDQ；
（2）由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，可证得△PBC∽△RBE，继而可得

PC

RE

=

BC

BE

=

1

2

，PB=PR，又由点R为DE的中点，△PCQ∽△RDQ，可得

PQ

QR

=

PC

DR

=

PC

RE

=

1

2

，继而可求得BP：PQ：QR的值．

解答：（1）证明：∵四边形ACED是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ；

（2）解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴△PBC∽△RBE，
∴

PB

PR

=

BC

CE

，

PC

RE

=

BC

BE

=

1

2

，
∴RB=2PB，
∵点R为DE的中点，△PCQ∽△RDQ，
∴

PQ

QR

=

PC

DR

=

PC

RE

=

1

2

，
∴QR=2PQ，
∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．