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已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG.
(1)求证:FC=BE;
(2)若AD=DC=2,求AG的长.

【答案】分析:(1)由直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,DE⊥AC,AE=AC,根据AAS易证得△ABC≌△AFE,根据全等三角形的对应边相等,即可得AB=AF,继而可得FC=BE;
(2)利用等腰三角形的三线合一定理可得AF=AC=AE,进而求得一些角是30°,主要利用AD长,直角三角形勾股定理来求解即可求得答案.
解答:(1)证明:∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,
∴∠ABC=∠AFE.
∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,
∴△ABC≌△AFE,
∴AB=AF.
∴AE-AB=AC-AF,
即FC=BE;

(2)解:∵AD=DC=2,DF⊥AC,
∴AF=AC=AE.
∴AG=CG,∠E=30°.
∵∠EAD=90°,
∴∠ADE=60°,
∴∠FAD=∠E=30°,
∴FC=
∵AD∥BC,
∴∠ACG=∠FAD=30°,
∴CG=2,
∴AG=2.
点评:本题考查直角梯形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定.此题知识点多,综合性强.突破此题的关键在于第一问证得△ABC≌△AFE,第二问利用等腰△ADC的性质得AF=AC=AE.从而得出∠E=30°,注意数形结合思想的应用.
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