Question

16．如图，⊙O中，弦AB∥CD，$\widehat{AB}+\widehat{DC}=\widehat{AD}+\widehat{BC}$，AB=10，DC=12，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 作直径PQ⊥AB于M，交CD于Q，如图，连结OA、OD，根据平行线的性质得PQ⊥CD，则根据垂径定理得到AM=$\frac{1}{2}$AB=5，DN=$\frac{1}{2}$DC=6，$\widehat{AP}$=$\widehat{BP}$，$\widehat{DQ}$=$\widehat{CQ}$，再利$\widehat{AB}+\widehat{DC}=\widehat{AD}+\widehat{BC}$可得$\widehat{AD}$为半圆PQ的一半，所以∠AOD=90°，接着证明△OAM≌△DON得到OM=DN=6，AM=ON=5，然后根据梯形的面积公式计算．

解答 解：作直径PQ⊥AB于M，交CD于Q，如图，连结OA、OD，
∵AB∥CD，
∴PQ⊥CD，AM=$\frac{1}{2}$AB=5，DN=$\frac{1}{2}$DC=6，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{BP}$，$\widehat{DQ}$=$\widehat{CQ}$，
∵$\widehat{AB}+\widehat{DC}=\widehat{AD}+\widehat{BC}$，
∴2$\widehat{AP}$+2$\widehat{DQ}$=2$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AD}$为半圆PQ的一半，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOM+∠DON=90°，
而∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠DON=∠OAM，
在△OAM和△DON中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMA=∠DNO}\\{∠OAM=∠DON}\\{OA=DO}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△DON，
∴OM=DN=6，AM=ON=5，
∴MN=OM+ON=6+5=11，
∴梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（10+12）×11=121．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质．