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    已知：二次函数y=a（x-1）2+4的图象如图所示，抛物线交y轴于点C，交x轴于A、B两点，用A点坐标为（-1，0）．
    （1）求a的值及点B的坐标．
    （2）连接AC、BC，E是线段OC上的动点（不与O、C两点重合），过E点作直线PE⊥y轴交线段AC于点P，交线段BC于点Q．求证：=．
    （3）设E点的坐标为（0，n），在线段AB上是否存在一点R，使得以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出n的值，并画出相应的示意图；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）把A点坐标为（-1，0）代入y=a（x-1）2+4，可求得a=-1，然后令y=0，得到-（x-1）2+4=0，解方程得到x1=-1，x2=3，即可得到B点坐标；
    （2）由直线PE⊥y轴交线段AC于点P，交线段BC于点Q，得到PQ∥AB，则△CPQ∽△CAB，即可得到结论；
    （3）利用待定系数法分别求出直线BC的解析式为：y=-x+3；直线AC的解析式为：y=-3x+3；由E点的坐标为（0，n），0＜n＜3，得到P点坐标为（-1，n），Q点的坐标为（3-n，n），则QP=3-n-（-1）=4-；若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似，则以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形，然后分类讨论：当∠PQR=90°，QR=QP，得到n=4-；当∠PRQ=90°，RP=RQ，过R作RH⊥PQ于H，根据HR=PQ，得到n=（4-），分别解方程可得到n的值和对应的R点的坐标．
    解答：（1）解：把A点坐标为（-1，0）代入y=a（x-1）2+4，得a（-1-1）2+4=0，解得a=-1，
    ∴y=-（x-1）2+4，
    令y=0，-（x-1）2+4=0，
    解得x1=-1，x2=3，
    ∴B点坐标为（3，0）；

    （2）证明：∵直线PE⊥y轴交线段AC于点P，交线段BC于点Q，
    ∴PQ∥AB，
    ∴△CPQ∽△CAB，
    ∴=；

    （3）解：在线段AB上存在一点R，使得以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似．理由如下
    对于y=-（x-1）2+4，令x=0，y=3，
    ∴C点坐标为（0，3），
    ∴△OBC为等腰直角三角形，
    设直线BC的解析式为：y=kx+b，
    把B（3，0），C（0，3）代入得，，
    解得k=-1，b=3，
    ∴直线BC的解析式为：y=-x+3；
    同理可得直线AC的解析式为：y=-3x+3；
    ∵E点的坐标为（0，n），0＜n＜3，
    ∴P点坐标为（-1，n），Q点的坐标为（3-n，n），
    ∴QP=3-n-（-1）=4-；
    若以P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似，
    ∴以P、Q、R为顶点的三角形为等腰直角三角形，
    当∠PQR=90°，QR=QP，如图，
    ∵PQ∥AB，
    ∴QR⊥AB，
    ∴QR=OE=n，
    ∴n=4-，
    解得n=，
    ∴R的坐标为（，0），
    当∠QPR=90°，PQ=PR，同理可得n=，得P点坐标为（-，），则R点坐标为（-，0）；
    当∠PRQ=90°，RP=RQ，过R作RH⊥PQ于H，如图，
    ∴HR=PQ，
    ∴n=（4-），
    解得n=，
    ∴P点的坐标为（-，），Q点的坐标为（，），
    ∴R点的坐标为（，0）．
    所以当n=，R的坐标为（，0）或（-，0）；当n=，R点的坐标为（，0）．
    点评：本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标的方法；也考查了利用待定系数法求直线解析式、三角形相似的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．
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    （1）求B、C两点的坐标；
    （2）求这个二次函数的解析式．

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    已知：二次函数y=x2-2（m-1）x-1-m的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，且满足
    1
    AO
    -
    1
    OB
    =
    2
    CO
    ．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由．

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    已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴精英家教网交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上．
    （1）求抛物线的解析式；
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    已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
    x … 0 1 2 3 4 5 …
    y … 3 0 -1 0 m 8 …
    （1）可求得m的值为
    3
    3
    ；
    （2）求出这个二次函数的解析式；
    （3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为
    -1≤y＜3
    -1≤y＜3
    ．

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