Question

如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E，与AB相切于点F，连接EF。

【小题1】判断EF与AC的位置关系（不必说明理由）；
【小题2】如图，过E作BC的垂线，交圆于G，连接AC，判断四边形ADEG的形状，并说明理由。

【小题3】确定圆心O的位置，并说明理由。

Answer 1

【小题1】EF//AC.
【小题2】四边形ADEG为矩形.
理由: ∵EG⊥BC, ∴AD//EG, 即四边形ADEG为矩形.
【小题3】圆心O就是AC与EG的交点.
理由: 连接FG, 由(2)可知EG为直径, ∴FG⊥EF,
又由(1)可知, EF//AC, ∴AC⊥FG,
又∵四边形ADEG为矩形, ∴EG⊥AG, 则AG是已知圆的切线.
而AB也是已知圆的切线, AF=AG,
∴AC是FG的垂直平分线, 故AC必过圆心,
因此, 圆心O就是AC与EG的交点.
说明: 也可据△AGO≌△AFO进行说理.

解析