Question

已知，抛物线y=-x²+bx+c，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若直线y=kx+b（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式．
（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G．
①求t的取值范围
②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交点为（1，0）和（5，0），
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x-5；

（2）∵y=-x²+6x-5的图象过A（，m）和B（4，n）两点，
∴m=，n=3，∴A（，）和B（4，3），
∵直线y=kx+b（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点
∴，
解得．
∴直线的解析式为y=x+1；

（3）①根据题意，
解得≤t≤2，
②根据题意E（t，t+1），F（t+2，t+2）
H（t，-t²+6t-5），G（t+2，-t²+2t+3），
∴EH=-t²+t-6，FG═-t²+t+1，
若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即-t²+t-6=-t²+t+1，
解得：t=，
∵t=满足≤t≤2．
∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形．
分析：（1）将（1，0）和（5，0）代入函数关系式，求出b，c的值即可；
（2）图象过A（，m）和B（4，n）两点代入（1）中所求求出A，B的坐标即可，进而求出直线的解析式；
（3）①根据t＞，t+2＜4进而求出t的取值范围即可；
②首先表示出E，F，G，H各点的坐标，进而根据平行四边形的性质求出t的值即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及平行四边形的性质，根据点的坐标性质得出E，F，G，H点的坐标进而利用平行四边形对边相等得出是解题关键．