Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.

Answer 1

(1) y=x²－x－6(2) (3)见解析

试题分析：（1）把点B、C的坐标代入抛物线解析式，根据对称轴解析式列出关于a、b、c的方程组，求解即可；（2）根据抛物线解析式求出点A的坐标，再利用勾股定理列式求出AC的长，然后求出OD，可得点D在抛物线对称轴上，根据线段垂直平分线上的性质可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根据等边对等角可得∠PDC=∠ACD，从而得到∠QDC=∠ACD，再根据内错角相等，两直线平行可得PQ∥AC，再根据点D在对称轴上判断出DQ是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DQ=AC，再求出AP，然后根据时间=路程÷速度求出点P运动的时间t，根据勾股定理求出BC，然后求出CQ，根据速度=路程÷时间，计算即可求出点Q的速度．（3）假设存在这样的点M，使得△MPQ为等腰三角形，那么就需要要分类讨论：①当MP=MQ，即M为顶点；②；当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.进行分类求解即可.
试题解析：解：方法一：∵抛物线过C(0,-6)
∴c=－6, 即y=ax²+bx－6
由 ，解得：a= ,b=－
∴该抛物线的解析式为y=x²－x－6；
方法二：∵A、B关于x=2对称
∴A（－8，0），设y=a(x＋8)(x－12) 
C在抛物线上，∴－6=a×8×(－12) 即a=
∴该抛物线的解析式为：y=x²－x－6.
（2）存在，设直线CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中，AC==10=AD
∴点D在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC，
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，∴DQ∥AC，
DB=AB－AD=20-10=10
∴DQ为△ABC的中位线，∴DQ=AC=5.
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5
∴t=5÷1=5(秒) 
∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分,
在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3 
∴点Q的运动速度为每秒单位长度.
（3）存在 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ==3.
①当MP=MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：
  ,解得：.
∴y=3x-6
当x=1时，y=－3 , ∴M₁(1, －3).
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.
设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：
4²+y²=90  即y=±
∴M₂（1，）   M₃（1，－）.
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3)
设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：
(y＋3)²+5²=90 即y=－3±
∴M₄(1, －3＋)   M₅((1, －3－) .
综上所述：存在这样的五点：
M₁(1, －3),  M₂（1，）,  M₃（1，－）,  M₄(1, －3＋),
M₅((1, －3－)