Question

6．如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象经过点A（m，2）和CD边上的点E（n，$\frac{2}{3}$），过点E作直线l∥BD交y轴于点F，则点F的坐标是（　　）

• A． （0，-$\frac{7}{3}$）
• B． （0，-$\frac{8}{3}$）
• C． （0，-3）
• D． （0，-$\frac{10}{3}$）

Answer 1

分析 由A（m，2）得到正方形的边长为2，则BC=2，所以n=2+m，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2•m=$\frac{2}{3}$（2+m），解得m=1，则A（1，2），B（1，0），D（3，2），E（3，$\frac{2}{3}$），然后利用待定系数法确定直线BD的解析式，再根据平行线的性质和E的坐标求得直线l的解析式，求x=0时对应函数的值，从而得到点F的坐标．

解答 解：∵正方形的顶点A（m，2），
∴正方形的边长为2，
∴BC=2，
而点E（n，$\frac{2}{3}$），
∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，$\frac{2}{3}$），
∴k=2•m=$\frac{2}{3}$（2+m），解得m=1，
∴A（1，2），E（3，$\frac{2}{3}$），
∴B（1，0），D（3，2），
设直线BD的解析式为y=ax+b，
把B（1，0），D（3，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{3a+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∵过点E作直线l∥BD交y轴于点F，
∴设直线l的解析式为y=x+q，
把E（3，$\frac{2}{3}$）代入得3+q=$\frac{2}{3}$，
解得q=-$\frac{7}{3}$，
∴直线l的解析式为y=x-$\frac{7}{3}$
当x=0时，y=-$\frac{7}{3}$，
∴点F的坐标为（0，-$\frac{7}{3}$），
故选A．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．