Question

4．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，E为AC上一点，CF⊥BE于F，FD的延长线交AC于G．
（1）试说明：△FBD∽△ABE；
（2）求证：GE•GA=GF•GD；
（3）若AC=3，BC=4，AE=1，求GE：GD的值．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，得到一对角互余，再由CD垂直于AB，得到三角形ACD为直角三角形，得到两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠DCB=∠A，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BCD与三角形ABC相似，由相似得BC²=BD•AB，同理得到BC²=BF•BE，可得出BD•AB=BF•BE，化为比例式，再由一对公共角，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得证；
（2）通过△BFD∽△BAE，得到∠BFD=∠A，由对顶角相等得到∠GFE=∠BFD，于是求得∠GFE=∠A，推出△GEF∽△GDA，即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，由（1）知BC²=BD•BA，求得BD=$\frac{16}{5}$，AD=$\frac{9}{5}$，由（1）知BC²=BF•BE=16，同理CE²=EF•BE=4，两式相加得到BF•BE+EF•BE=20，求出BE=2$\sqrt{5}$，EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，通过△GEF∽△GDA，得到比例式，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
又CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠DCB=∠A，又∠CDB=∠ACB=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$，即BC²=BD•BA；
∵在Rt△EBC中，∠ECB=90°，
∴∠ECF+∠FCB=90°，
又CF⊥BE，即∠EFC=90°，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠FCB=∠CEF，又∠CFB=∠ECB=90°，
∴△BCF∽△BEC，
∴$\frac{BC}{BE}$=$\frac{BF}{BC}$，即BC²=BE•BF，
∴BE•BF=BD•BA，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BF}{BA}$，又∠DBF=∠EBA，
∴△BFD∽△BAE；

（2）∵△BFD∽△BAE，
∴∠BFD=∠A，
∵∠GFE=∠BFD，
∴∠GFE=∠A，
∵∠AGD=∠FGE，
∴△GEF∽△GDA，
∴$\frac{GE}{GD}=\frac{GF}{GA}$，
∴GE•GA=GF•GD；

（3）∵AC=3，BC=4，AE=1，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
由（1）知BC²=BD•BA，
∴BD=$\frac{16}{5}$，∴AD=$\frac{9}{5}$，
由（1）知BC²=BF•BE=16，
同理CE²=EF•BE=4，
∴BF•BE+EF•BE=20，
∴BE²=20，
∴BE=2$\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵△GEF∽△GDA，
∴$\frac{GE}{GD}=\frac{EF}{AD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{9}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{9}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内角和，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．