Question

已知抛物线y=-x²+mx+3与x轴的一个交点A（3，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C，顶点为D．
（1）请分别求出点B，C，D的坐标；
（2）请在图中画出抛物线的草图，若点E（-2，n）在直线BC上，试判断点E是否在经过点D的反比例函数的图象上，把你的判断过程写出来；
（3）若过点A的直线L与x轴所夹锐角a的正切值满足tana≤

1

3

，试求直线L与抛物线另一个交点横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先将点A的坐标代入解析式求出抛物线的解析式，然后根据y=0就可以求出与x轴的另一个交点B的坐标，当x=0时，就可以求出与y轴的加点C的坐标，最后将抛物线的一般式化为顶点式就可以求出顶点坐标．
（2）利用（1）的点的点坐标就可以画出函数的大致图象，根据B、C的坐标可以求出BC的解析式，从而求出E点的坐标，最后代入过点D的反比例函数的解析式就可以确定是否在反比例函数的图象上．
（3）先设出直线与抛物线的另一个交点坐标，根据三角函数值表示出相应的线段的长度，在根据这一点的位置情况从两种不同的情况就可以确定直线L与抛物线另一个交点横坐标的取值范围．

解答：解：（1）∵A（3，0）在y=-x²+mx+3上，则-9+3m+3=0，m=2
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
∴C（0，3）
∴B（-1，0）
配方，得：y=-（x-1）²+4
∴D（1，4）
∴B（-1，0），C（0，3），D（1，4）

（2）如图，直线BC的解析式为：y=3x+3
∵点E（-2，n）在y=3x+3上
∴n=-3，E（-2，-3）
过点D的反比例函数的解析式为：y=

4

x

当x=-2时，y=-2≠-3
∴点E不在反比例函数的图象上

（3）设直线L与抛物线的另一交点为P（m，n）
则n=-m²+2m+3
过P作PG⊥AB于点G．
∵tanα≤

1

3

当tanα=

1

3

时，则PG=

1

3

AG，PG=|n|，AG=3-m
①当点P在x轴的上方时，则n＞0，得方程-m²+2m+3=

1

3

（3-m），解得：m₁=3（舍去），m₂=-

2

3

②当点P在x轴的下方时，则n＜0，得方程-m²+2m+3=

1

3

（3-m），解得：m₁=3（舍去），m₂=-

4

3

∴结合图形，P点的横坐标的取值范围是：-

4

3

≤m≤-

2

3

且m≠-1

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，由解析式求交点坐标，判断某个点是否在某个函数的图象上及确定自变量的取值范围．