Question

9、⊙O₂与⊙O₁交于A，B两点，射线O₁A交⊙O₂于C点，射线O₂A交⊙O₁于D点．求证：点A是△BCD的内心．

Answer 1

分析：首先作辅助线延长CA交⊙O₁于M点，延长DA交⊙O₂于N点，连接AB、DM、CN、MN，证出C、D、M、、N四点共圆，再推出点A在∠DBC的角平分线上，同理点A也在∠DCB和∠CDB的角平分线上，即可得出答案．

解答：证明：设两圆为⊙O、⊙Q，如图
延长CA交⊙O₁于M点，延长DA交⊙O₂于N点，连接AB、DM、CN、MN，
∵AM是⊙O₁的直径，AN是⊙O₂的直径，
∴∠MDN=∠ACN=90°，
∴C、D、M、、N四点共圆，
∴∠DMC=∠DNC，
∵∠DMC=∠DBA，∠DNC=∠ABC，
∴∠DBA=∠ABC，
∴点A在∠DBC的角平分线上，
∵C、D、M、、N四点共圆，
∴∠DCM=∠DNM，
∵∠DNM=∠ACB，
∴∠DCM=∠ACB，
∴点A在∠DCB的角平分线上，
同理：点A在∠CDB的角平分线上，
∴点A是△CDB的三个角平分线的交点，
∴点A是△BCD的内心．

点评：本题主要考查了四点共圆，圆周角定理，三角形的内切圆和内心，确定圆的条件等知识点，作辅助线证C、D、M、、N四点共圆是解此题的关键．