Question

【题目】在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A，C不重合），连接BE．
（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F．
①依题意补全图1；

②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：
AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：
想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的关系，只需证AE，AM，EM的关系．
想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．
…
请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；（一种方法即可）
（2）如图2，若将直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F．小研完成作图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①补全图形，如图1所示：

②AE2+FC2=EF2；理由如下：

过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接AM、EM，如图2所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，

∵∠3=45°，

∴∠MBE=∠3=45°，

在△MBE和△FBE中， ，

∴△MBE≌△FBE（SAS），

∴EM=EF，∵∠4=90°﹣∠ABF，∠5=90°﹣∠ABF，

∴∠4=∠5，

在△AMB和△CFB中， ，

∴△AMB≌△CFB（SAS），

∴AM=FC，∠6=∠2=45°，

∴∠MAE=∠6+∠1=90°，

在Rt△MAE中，AE2+AM2=EM2，

∴AE2+FC2=EF2；

（2）

解：AF2+EC2=EF2；理由如下：

过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接ME、MF、AM，

如图3所示：

同（1）得：△MBF≌△EBF，

∴MF=EF，同（1）得：△AMB≌△CBE（SAS），

∴AM=EC，∠BAM=∠BCE=45°，

∴∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，

∴∠MAF=90°，

在Rt△MAF中，AF2+AM2=MF2，

∴AF2+EC2=EF2．

【解析】（1）①根据题意补全图形即可；②过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接AM、EM，由正方形的性质得出∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，由SAS证明△MBE≌△FBE，得出EM=EF，证出∠4=∠5，由SAS证明△AMB≌△CFB，得出AM=FC，∠6=∠2=45°，证出∠MAE=∠6+∠1=90°，在Rt△MAE中，由勾股定理即可得出结论；（2）过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接ME、MF、AM，同（1）得：△MBF≌△EBF，得出MF=EF，同（1）得：△AMB≌△CBE，得出AM=EC，∠BAM=∠BCE=45°，证出∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，得出∠MAF=90°，在Rt△MAF中，由勾股定理即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．