Question

已知：如图⊙O是以等腰三角形ABC的底边BC为直径的外接圆，BD平分∠ABC交⊙O于D，且BD与OA、
AC分别交于点E、F延长BA、CD交于G．
（1）试证明：BF=CG．
（2）线段CD与BF有什么数量关系？为什么？
（3）试比较线段CD与BE的大小关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵⊙O是以等腰三角形ABC的底边BC为直径的外接圆，
∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=∠DCA，
∴，
∴△ABF≌△ACG，（AAS）
∴BF=CG；

（2）线段2CD=BF，
证明：∵BD平分∠ABC交⊙O于D，
∴∠GBD=∠CBD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴，
∴△BDG≌△BDC，（AAS）
∴GD=CD，
∵BF=CG；
∴=，
即=，
∴2CD=BF；
（3）证明：连接EC，
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
且BO=CO，
∴AO⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴BE=EC，
∵∠EDC=90°，在△EDC中所对斜边为EC，
∴EC＞CD（直角三角形中斜边大与直角边长），
∴BE＞CD．
分析：（1）根据圆周角定理以及全等三角形的判定得出△ABF≌△ACG即可求出答案；
（2）利用角平分线的性质以及圆周角定理得出△BDG≌△BDC，进而得出GD=CD，求出=，即可得出答案；
（3）利用等腰三角形的性质得出BE=EC，再利用直角三角形边之间大小关系求出即可．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及全等三角形的判定和等腰三角形的性质等知识，根据已知连接EC利用等腰三角形的性质得出是解题关键．