Question

如图，梯形AOBC的顶点A和点C在反比例函数y=

k

x

的图象上，点C在点A的右侧，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于点E（2，0），点C的纵坐标是1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求四边形AOEC的面积；
（3）若将点E坐标改为（m，0），且m＞0，其它条件不变，探究四边形AOEC的面积；
（4）若将点E坐标改为（m，0），且m＞0，点C的纵坐标改为n，且n＞0，其它条件不变，直接写出四边形AOEC的面积．

Answer 1

分析：（1）过点A，C分别作x轴的垂线，垂足分别是M，N，由于上底边OA在直线y=x上故可得出AM=OM，CN=EN，故可得出C点坐标，进而得出反比例函数的解析式；
（2）先根据反比例函数的图象与直线y=x相交于A点，求出A点坐标，由于直线解析式为y=x，可知∠AON=45°，从而得出△AOE为等腰直角三角形，求出AM与OM的长，将四边形AOEC面积转化为△AOM与梯形AMNC的面积之和与△CEN的面积之差．
（3）与（2）过程相同，只是将NE的长改为3-m．
（4）与（3）过程相同，只是将CN的长改为n．

解答：解：（1）如图1，过点A，C分别作x轴的垂线，垂足分别是M，N
则AM=OM，CN=EN
∵点C的纵坐标为1，
∴CN=EN=1，
∵E（2，0），
∴ON=2+1=3，
∴点C的坐标为（3，1）
∴k=3，即y=

3

x

；
（2）将y=x与y=

3

x

组成方程组得，

y=x y= 3 x

，
解得

x= 3 y= 3

，

x=- 3 y=- 3

（舍去）．
将y=1代入y=

3

x

得，x=3，
即N点横坐标为3，
MN=3-

3

，
S_{四边形AOEC}=S_△AOM+S_梯形AMNC-S_△CEN
=

1

2

×

3

×

3

+

1

2

×（1+

3

）（3-

3

）-

1

2

×1×1
=1+

3

；
（3）S_{四边形AOEC}=S_△AOM+S_梯形AMNC-S_△CEN
=

1

2

×

3

×

3

+

1

2

×（1+

3

）（3-

3

）-

1

2

×（3-m）×1
=

m

2

+

3

；
（4）S_{四边形AOEC}=S_△AOM+S_梯形AMNC-S_△CEN
=

1

2

×

3

×

3

+

1

2

×（n+

3

）（3-

3

）-

1

2

×（3-m）×1
=

3- 3

2

n+

m

2

+

3 3 -3

2

．

点评：本题考查了反比例函数的综合问题，将四边形AOEC面积转化为△AOM与梯形AMNC的面积之和与△CEN的面积之差是解题的基本思路，再利用函数图象上点的坐标特征求出各图形的表达式是解题的关键．