Question

12．如图，矩形ABCD中，AB=4$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，△EFG为边长8的等边三角形，将△EFG按图①位置摆放，点F在CB延长线上，点B、点G重合．现将△EFG向右以每秒2个单位长度的速度平移，直至点G与点C重合时停止．设平移时间为t秒．
（1）求出点G与点C重合时t的值；
（2）记平移过程中△EFG与△ABC的重合部分面织为S，直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围；（t＞0）；
（3）如图②，点H、点I分别为AB、BC中点，在△EFG向右平移过程中（点G与点C重合时停止平移），是否存在点F使得△FHI为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件求出线段BC的长度，即可求出当点G与点C重合时t的值；
（2）随着t的增大，图形的形状也在变化，分类讨论，得出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围；
（3）等腰三角形有三种情况，分三种情况根据边与角的关系，即可求出t的值．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，AB=4$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，
∴BC=AB•cot∠ACB=4$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=12，
∴点G与点C重合时t=12÷2=6秒．
（2）结合题意可知分三种情况：
①E点还没进入矩形ABCD，如备用图1，

此时0＜2t≤$\frac{1}{2}$FG，即0＜t≤2，
BG=2t，BR=BG•tan∠EGF=2$\sqrt{3}$t，
此时△EFG与△ABC的重合部分面织S=$\frac{1}{2}$BG•BR=2$\sqrt{3}$t²（0＜t≤2）；
②E点在线段AD上，F点还未进入矩形ABCD，如备用图2，

此时$\frac{1}{2}$FG＜2t≤FG，即2＜t≤4，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠EFG=60°，∠EAO=∠ABC=30°，
∴EO⊥AO，
在△AEO和△QEO中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠QEO=60°}\\{EO=EO}\\{∠EOA=∠EOQ=90°}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△QEO（ASA），
∴S_△AEO=S_△QEO，
BG=2t，AE=BG-$\frac{1}{2}$FG=2t-4，AO=AE•sin∠AEO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2t-4），EO=AE•cos∠AEO=$\frac{1}{2}$（2t-4），
BF=FG-BG=8-2t，BR=BF•tan∠EFG=$\sqrt{3}$（8-2t），
此时△EFG与△ABC的重合部分面织S=$\frac{1}{2}$EF•FG•sin∠EFG-$\frac{1}{2}$BF•BR-$\frac{1}{2}$AO•EO=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$t²+18$\sqrt{3}$t-18$\sqrt{3}$（2＜t≤4）．
③F点在线段BC上，如备用图，

此时FG＜2t≤BC，即4＜t≤6，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠EFG=60°，∠EAO=∠ABC=30°，
∴EO⊥AO，
在△AEO和△QEO中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠QEO=60°}\\{EO=EO}\\{∠EOA=∠EOQ=90°}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△QEO（ASA），
∴S_△AEO=S_△QEO，
BG=2t，AE=BG-$\frac{1}{2}$FG=2t-4，AO=AE•sin∠AEO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2t-4），EO=AE•cos∠AEO=$\frac{1}{2}$（2t-4），
此时△EFG与△ABC的重合部分面织S=$\frac{1}{2}$EF•FG•sin∠EFG-$\frac{1}{2}$AO•EO=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$t+14$\sqrt{3}$（4＜t≤6）．
综上知△EFG与△ABC的重合部分面织S=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}{t}^{2}（0＜t≤2）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+18\sqrt{3}t-18\sqrt{3}（2＜t≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+2\sqrt{3}t+14\sqrt{3}（4＜t≤6）}\end{array}\right.$．
（3）假设存在，连接HF、HI，如图2所示，

①HF=HI时，则有BF=BI=$\frac{1}{2}$BC=12÷2=6，
BG=2t，BF=FG-BG=8-2t=6，
解得t=1．
②HI=FI时，HI=$\sqrt{B{H}^{2}+B{I}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
BG=2t，FI=FG+BI-BG=14-2t=4$\sqrt{3}$，
解得t=（7-2$\sqrt{3}$）．
③FH=FI时，FI=FG+BI-BG=14-2t，
BG=2t，BF=BG-FG=2t-8，FH=$\sqrt{B{F}^{2}+B{H}^{2}}$=14-2t，
即有24t=120，解得t=5．
综合①②③得存在点F使得△FHI为等腰三角形，t的值为1、7-2$\sqrt{3}$和5．

点评 本题考查了三角形全等的判定定理、勾股定理及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用时间=路程÷速度；（2）画出图形，结合图形，找到重合部分图形变化的临界点，分类讨论；（3）等腰三角形分成三种情况，按照时间的顺序分别探讨，即可得出结论．