Question

21、已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，过点D作DE⊥BC，交BC于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）如果⊙O的直径AB=4，CE=3，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）要证明切线，结合DE⊥BC，只需证明OD∥BC，显然根据三角形的中位线定理即可证明；
（2）根据（1）中的平行，易证明角相等．从而发现等腰三角形ABC，然后进行计算．

解答：解：（1）证明：连接OD；
∵AD=CD，AO=BO，
∴OD∥BC．
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．

（2）由（1）知，OD∥BC，
∴∠ADO=∠C．
∵∠A=∠ADO，
∴∠A=∠C．
∴AB=BC．
∴BE=BC-CE=AB-CE=4-3=1．

点评：掌握证明切线的方法．综合运用切线的判定定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质．