【题目】四边形ABCD的对角线交于点E,有AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E,圆心为O.
(1)利用图1,求证:四边形ABCD是菱形.
(2)如图2,若CD的延长线与半圆相切于点F,已知直径AB=8. ①连结OE,求△OBE的面积.
②求弧AE的长.
【答案】
(1)解:∵AE=EC,BE=ED,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB为直径,且过点E,
∴∠AEB=90°,即AC⊥BD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:①连结OF.
∵CD的延长线与半圆相切于点F,
∴OF⊥CF.
∵FC∥AB,
∴OF即为△ABD中AB边上的高.
∴S△ABD= AB×OF= ×8×4=16,
∵点O是AB中点,点E是BD的中点,
∴S△OBE= S△ABD=4.
②过点D作DH⊥AB于点H.
∵AB∥CD,OF⊥CF,
∴FO⊥AB,
∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°.
∴四边形OHDF为矩形,即DH=OF=4.
∵在Rt△DAH中,sin∠DAB= = ,
∴∠DAH=30°.
∵点O,E分别为AB,BD中点,
∴OE∥AD,
∴∠EOB=∠DAH=30°.
∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°.
∴弧AE的长= = .
【解析】(1)先由AE=EC、BE=ED可判定四边形为平行四边形,再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形;(2)①连结OF,由切线可得OF为△ABD的高且OF=4,从而可得S△ABD , 由OE为△ABD的中位线可得S△OBE= S△ABD; ②作DH⊥AB于点H,结合①可知四边形OHDF为矩形,即DH=OF=4,根据sin∠DAB= = 知∠EOB=∠DAH=30°,即∠AOE=150°,根据弧长公式可得答案
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【题目】阅读思考
我们知道,在数轴上|a|表示数a所对应的点到原点的距离,这是绝对值的几何意义,由此我们可进一步地来研究数轴上任意两个点之间的距离,一般地,如果数轴上两点A、B 对立的数用a,b表示,那么这两个点之间的距离AB=|a﹣b|.也可以用两点中右边的点所表示数的减去左边的点所表示的数来计算,例如:数轴上P,Q两点表示的数分别是﹣1和2,那么P,Q两点之间的距离就是 PQ=2﹣(﹣1)=3.
启发应用
如图,点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a、b满足|a+3|+(b﹣2)2=0
(1)求线段AB的长;
(2)如图,点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x+1=x﹣8的解,
①求线段BC的长;
②在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC?若存在,直接写出点P对应的数:若不存在,说明理由.
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【题目】填写推理理由,将过程补充完整:
如图,已知AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F,AD平分∠BAC.求证:∠E=∠1.
证明:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知),
∴∠ADC=∠EFC=90°(垂直的定义).
∴____________(_____________).
∴∠1=_____(_____________),
∠E=_____(_______________).
又∵AD平分∠BAC(已知),
∴_____=________.
∴∠1=∠E(等量代换).
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【题目】函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论: ①b2﹣4c>0;
②b+c+1=0;
③3b+c+6=0;
④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】已知O为直线AB上的一点,∠COE是直角,OF平分∠AOE(图中所说的角都是小于平角的角).
(1)如图1,若∠COF=28°,则∠BOE=______°;若∠COF=则∠BOE=_______;∠BOE与∠COF的数量关系为_________;
(2)将∠COE绕点O逆时针旋转到如图2所示的位置时,(1)中∠BOE和∠COF的数量关系否仍然成立?若成立,请说明理由?若不成立,求出∠BOE与∠COF的数量关系;
(3)当∠COE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时,(1)中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请求出∠BOE与∠COF的数量关系.
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【题目】下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A.提取公因式 |
B.平方差公式 |
C.两数和的完全平方公式 |
D.两数差的完全平方公式 |
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?________.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________ .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
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【题目】如图,在△ABC中,点D,E,F在边BC上,点P在线段AD上,若PE∥AB,∠PFD=∠C,点D到AB和AC的距离相等.求证:点D到PE和PF的距离相等.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于O.过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.若∠BOC=130°,∠ABC:∠ACB=3:2,求∠AEF和∠EFC.
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