Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．

（1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=6，cos∠ACD=，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）直线MN与⊙O的位置关系是相切。理由如下：
连接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAB=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA。∴OC∥AD。
∵AD⊥MN，∴OC⊥MN。
∵OC为半径，∴MN是⊙O切线。
（2）∵CD=6，，∴AC=10。
由勾股定理得：AD=8。
∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，∴∠ACB=∠ADC=90°。
∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB。
∴，即。
∴AB=12.5。∴⊙O半径是×12.5=6.25。

试题分析：（1）连接OC，推出AD∥OC，从而得OC⊥MN，根据切线的判定推出即可。
（2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可。