Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°．
（1）求证：CF为⊙O的切线．
（2）若半径ON⊥AD于点M，CE=，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵CD垂直平分OB，∴OE=OB，∠CEO=90°，
∵OB=OC，
∴OE=OC，
在Rt△COE中，sin∠ECO==，
∴∠ECO=30°，
∴∠EOC=60°，
∵∠CFO=30°，
∴∠OCF=90°，又OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可得∠COF=60°，
由圆的轴对称性可得∠EOD=60°，∴∠DOA=120°，
∵OM⊥AD，OA=OD，∴∠DOM=60°．
在Rt△COE中，CE=，∠ECO=30°，cos∠ECO=，
∴OC=2，
在Rt△ODM中，OD=2，∠ADO=30°，
∴OM=ODsin30°=1，MD=ODcos30°=，
∴S_扇形OND==π，
∴S_△OMD=OM•DM=，
∴S_阴影=S_扇形OND-S_△OMD=π-．
分析：（1）由CD垂直平分OB，得到E为OB的中点，且CD与OB垂直，又OB=OC，可得OE等于OC的一半，在直角三角形OEC中，根据锐角三角函数的定义，得到sin∠ECO的值为，可得∠ECO为30°，进而得到∠EOC为60°，又∠CFO为30°，可得∠OCF为直角，由OC为圆O的半径，可得CF为圆的切线；
（2）由（1）得出的∠COF=60°，根据对称性可得∠EOD为60°，进而得到∠DOA=120°，由OA=OD，且OM与AD垂直，根据“三线合一”得到∠DOM为60°，在直角三角形OCE中，由CE的长及∠ECO=30°，可求出半径OC的长，又在直角三角形OMD中，由∠MDO=30°，半径OD=2，可求出MD及OM的长，然后利用扇形ODN的面积减去三角形ODM的面积即可求出阴影部分的面积．
点评：此题考查了切线的判定，直角三角形的性质，锐角三角形函数定义，等腰三角形的性质，以及直角三角形和扇形面积的公式，切线的判定方法为：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于半径．对于不规则图形的面积的求法，可利用转化的思想，把不规则图形的面积化为规则图形来求，例如本题就是用扇形的面积减去直角三角形的面积得到阴影部分面积的．