Question

已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于E，交直线AC于点F．
（1）当点P在线段AB上时，（如图1）求证：PA•PB=PE•PF．
（2）在图2中画出当点P在线段AB的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵BT为切线，BA为弦．
∴∠ABE=∠C，∠APF=∠EPB．
又∵EF∥BC，
∴∠C=∠AFP，∴∠ABE=∠AFP．
∴△APF∽△EPB，
∴，
即PA•PB=PE•PF．

（2）

结论仍然成立．
证明：∵BT为切线，BC为弦，
∴∠CBE=∠A．
∵PF∥BC，
∴∠CBE=∠PEB．
∴∠PEB=∠A．
又∠EPB=∠APF，
∴△APF∽△EPB，
∴，
即PA•PB=PE•PF．
分析：（1）欲证 PA•PB=PE•PF，即证．证明线段所在的△PAF与△PEB相似即可．根据弦切角定理有∠PBE=∠C；根据平行线的性质得∠C=∠PFA．所以∠PBE=∠PFA．运用“有两角对应相等的两个三角形相似”得证；
（2）根据题意作图，仿（1）证明．
点评：此题考查弦切角定理和相似三角形的判定与性质，难度中等．证明等积式常变形为比例式，转证线段所在的三角形相似．