Question

8．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边上一点，且△BCF∽△EBD，求直线FB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得点D的坐标，代入反比例函数可求得k的值，又由点E的位置可求得E点的横坐标，代入可求得E点坐标；
（2）由相似三角形的性质可求得CF的长，可求得OF，则可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线FB的解析式．

解答 解：
（1）在矩形OABC中，
∵B（4，6），
∴BC边中点D的坐标为（2，6），
∵又曲线y=$\frac{k}{x}$的图象经过点（2，6），
∴k=12，
∵E点在AB上，
∴E点的横坐标为4，
∵y=$\frac{12}{x}$经过点E，
∴E点纵坐标为3，
∴E点坐标为（4，3）；
（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，
∵△FBC∽△DEB，
∴$\frac{BD}{CF}$=$\frac{BE}{CB}$，即$\frac{2}{CF}$=$\frac{3}{4}$，
∴CF=$\frac{8}{4}$，
∴OF=$\frac{10}{3}$，即点F的坐标为（0，$\frac{10}{3}$），
设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B（4，6），F（0，$\frac{10}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=6}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BF的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的性质等知识．在（1）中求得E点的坐标是解题的关键，在（2）中求得F点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度不大．