Question

12．已知不等式（m-1）x＞（m-1）（m-2）的解是不等式||x+3|-|x-3||＞3的解的一部分，求m的取值范围．

Answer 1

分析 先根据不等式||x+3|-|x-3||＞3表示的几何意义，得出x＜-$\frac{3}{2}$或x＞$\frac{3}{2}$，再分两种情况进行讨论：当m-1＞0，即m＞1时，x＞m-2；当m-1＜0，即m＜1时，x＜m-2，分别求得m的取值范围即可．

解答 解：不等式||x+3|-|x-3||＞3表示的几何意义为：在数轴上一点到3和-3的距离之差的绝对值大于3，
①当x≤-3或x≥3时，不等式||x+3|-|x-3||＞3成立；
②当-3＜x≤0时，不等式||x+3|-|x-3||＞3化简得：|x+3+x-3|＞3，解得-3＜x＜-$\frac{3}{2}$；
③当0＜x＜3时，不等式||x+3|-|x-3||＞3化简得：|x+3+x-3|＞3，解得$\frac{3}{2}$＜x＜3；
∴x＜-$\frac{3}{2}$或x＞$\frac{3}{2}$，
当m-1＞0，即m＞1时，x＞m-2，
∴m-2≥$\frac{3}{2}$，
解得m≥$\frac{7}{2}$，（符合题意）
当m-1＜0，即m＜1时，x＜m-2，
∴m-2≤-$\frac{3}{2}$，
解得m≤$\frac{1}{2}$，（符合题意）
综上所述，m≤$\frac{1}{2}$或m≥$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查了不等式的解集，解决问题的关键是利用绝对值的几何意义进行分类讨论．解题时注意：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．