Question

8．平面直角坐标系中，若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则线段P₁P₂的中点坐标可表示为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），例如P₁（-1，3），P₂（5，1），则P₁P₂的中点坐标为（2，2），如图1，直线y=2x+2与直线y=-2x+14交于点M，分别交x轴于点A和点B，动点C（0，n）在y轴正半轴上运动，动点P（m，0）从原点O出发沿x轴的正方向运动到点B，过点C作CD∥x轴交直线MB于点D，以P，C，D为顶点作?PDQC，PQ与CD交于点E
（1）当n=4时，点D的坐标为（5，4）．
（2）如图2，当n=2时，解决下列问题：
①点E坐标是（3，2）；
②当?PDQC是菱形时，m=3；当点Q落在y轴上时，m=6；
③当点Q落在MB上时记为Q₁，点Q落在MA上时记为Q₂，求点Q从Q₁运动到Q₂的过程中，线段PQ扫过的面积．
（3）在点P从点O到B的运动过程中，若点Q始终落在△MAB外，请直接写出n取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据C、D两点纵坐标相同，即可解决问题．
（2）①先求出C、D两点坐标，再根据中点坐标公式即可解决问题．
②根据四边形PDQC是菱形，推出PQ⊥CD，求出点P坐标即可．根据中点坐标公式即可解决第二个问题．
③求出Q₁、Q₂坐标，线段PQ扫过的面积=2•${S}_{△E{Q}_{1}{Q}_{2}}$，由此即可计算．
（3）利用方程组求出点M坐标，），设点Q的纵坐标为b，列出不等式即可解决问题．

解答 解：（1）∵CD∥AB，
∴n=4时，对于y=-2x+14，y=4时，x=5，
∴点D坐标（5，4），
故答案为（5，4）．

（2）①当n=2时，C（0，2），D（6，2），
∵四边形CPDQ是平行四边形，
∴CE=ED，
∴点E坐标（3，2），
故答案为（3，2）．
②∵四边形PDQC是菱形，
∴PQ⊥CD，
∵CD∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵E（3，2），
∴点P坐标（3，0），
∴m=3，
当Q在y轴上时，$\frac{0+m}{2}$=3，
∴m=6，
故答案为6．
③如图3中，设Q₁（m，-2m+14），Q₂（n，2n+2），

∵E（3，2），
∴$\frac{0+-2m+14}{2}$=2，$\frac{0+2n+2}{2}$=2，
∴m=5，n=1，
∴Q₁（5，4），Q₂（1，4），
∴Q从Q₁运动到Q₂的过程中，线段PQ扫过的面积=2•${S}_{△E{Q}_{1}{Q}_{2}}$=2×$\frac{1}{2}$×4×2=8．

（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-2x+14}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴点M坐标（3，8），设点Q的纵坐标为b，
∵点E的纵坐标为n，Q始终落在△MAB外，
∴b＞8即2n＞8，
∴n＞4时，点Q始终落在△MAB外．

点评 本题考查一次函数综合题、中点坐标公式、平行四边形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．