Question

如图1，抛物线y＝nx²－11nx＋24n (n＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．

（1）填空：点B的坐标为（_       ），点C的坐标为（_       ）；
（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．
①求此时抛物线的解析式；
②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

解：（1）B（3，０），C（8，０）      
（2）①作AE⊥OC，垂足为点E
∵△OAC是等腰三角形，∴OE＝EC＝×8＝4，∴BE＝4－3＝1
又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△BAE，∴＝
∴AE²＝BE·CE＝1×4，∴AE＝2              
∴点A的坐标为 (4，2)                     
把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝nx²－11nx＋24n，得n＝－
∴抛物线的解析式为y＝－x²＋x－12        
②∵点M的横坐标为m，且点M在①中的抛物线上
∴点M的坐标为 (m，－m²＋m－12)，由①知，点D的坐标为（4，－2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4
∴点N的坐标为 (m，m－4)
∴MNm²＋m－12）－（m－4）＝－m²＋5m－8 
∴S_{四边形AMCN}＝S_△AMN＋S_△CMN＝MN·CE＝（－m²＋5m－8）×4＝－(m－5)²＋9                           
∴当m＝5时，S_{四边形AMCN}＝9                    

（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出；
（2）①利用菱形性质得出AD⊥OC，则△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式；
②首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用求出即可．