Question

在 平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以B为顶点作∠CBA=∠CAB交x轴负半轴于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）D为线段AB上一点，过点D作DE∥x轴交BC于点E，DF∥y轴交x轴于点F，设D的横坐标为m，求DE和DF的长（用m的代数式表示）；
（3）D为直线AB上一点，过点D作DE∥x轴交BC于点E，DF∥y轴交x轴于点F，设D的横坐标为m，若DE＞DF，试求m的范围．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=1；当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3）；

（2）∵D为线段AB上一点，DF∥y轴交x轴于点F，D的横坐标为m，直线AB的解析式为y=-3x+3，
∴点F的坐标为（m，0），点D的坐标为（m，-3m+3），
∴DF=-3m+3（0≤m≤1）．
∵∠CBA=∠CAB，∴AC=BC．
设C点坐标为（x，0），则（1-x）²=x²+3²，
解得x=-4，即C点坐标为（-4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B（0，3），C（-4，0）代入，
得，解得，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
当y=-3m+3时，x+3=-3m+3，
解得x=-4m，
∴点E的坐标为（-4m，-3m+3），
∴DE=m-（-4m）=5m；

（3）分三种情况讨论：
①当m≤0时，如右图；
∵点F的坐标为（m，0），点D的坐标为（m，-3m+3），
∴DF=-3m+3，
∵点E的坐标为（-4m，-3m+3），
∴DE=-4m-m=-5m．
由DE＞DF，得-5m＞-3m+3，
解得m＜-；
②当0＜m≤1时，如题目图；
∵点F的坐标为（m，0），点D的坐标为（m，-3m+3），
∴DF=-3m+3，
∵点E的坐标为（-4m，-3m+3），
∴DE=m-（-4m）=5m，
由DE＞DF，得5m＞-3m+3，
解得m＞，
∴＜m≤1；
③当m＞1时，如右图；
∵点F的坐标为（m，0），点D的坐标为（m，-3m+3），
∴DF=3m-3，
∵点E的坐标为（-4m，-3m+3），
∴DE=m-（-4m）=5m．
由DE＞DF，得5m＞3m-3，
解得m＞-，
∴m＞1．
综上可知当m＜-或m＞时，DE＞DF．
分析：（1）由直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，根据x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，即可求出点A、B的坐标；
（2）先由D的横坐标为m，得出点F的坐标为（m，0），根据直线AB的解析式为y=-3x+3，得出点D的坐标为（m，-3m+3），再运用待定系数法求出直线BC的解析式，由E与D的纵坐标相同求出E点坐标，然后求出DE和DF的长；
（3）分三种情况讨论：①m≤0；②0＜m≤1；③m＞1．分别求出DE和DF的长，根据DE＞DF列出关于m的不等式，解不等式即可．
点评：本题是一次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴上的任意两点之间的距离，难度适中，要注意的是（3）中，要根据D点的不同位置进行分类求解．