【题目】在⊙O中,AB为直径,点P在AB的延长线上,PC与⊙O相切于点C,点D为弧AC上的点,且2∠DAB﹣∠P=90°,连接AD.
(1)如图1,求证:弧AD=弧BC;
(2)如图2,PC=6,PB=,求∠ADC度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,F为AB下方⊙O上一点.∠ACF=60°,L为OF中点,LK⊥AL于L,交CF于点K.连接AK,求AK的长.
【答案】(1)见解析;(2)∠ADC=120°;(3)AK=2.
【解析】
(1)如图1中,连接OD,OC.想办法证明∠AOD=∠COB即可.
(2)利用相似三角形的性质求出PA,再证明∠COB=60°即可解决问题.
(3)如图3中,作LH⊥AB于H,设KL交AP于N.CF交AB于M.首先证明△ACF是等边三角形,解直角三角形求出OH,HL,HN,利用相似三角形的性质求出KM,再利用勾股定理即可解决问题.
(1)证明:如图1中,连接OD,OC.
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,
∴∠P+∠POC=90°,
∵OA=OD,
∴∠DAB=∠ADO,
∵2∠DAB﹣∠P=90°,
∴180°﹣∠AOD﹣(90°﹣∠POC)=90°,
∴∠AOD=∠POC,
∴弧AD=弧BC.
(2)解:如图2中,连接OC,BC.
∵AB是直径,PC是切线,
∴∠ACB=∠PCB,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠PCB=∠PAC,
∵∠P=∠P,
∴△PCB∽△PAC,
∴ ,
∴PC2=PBPA,
∴PA=,
∴AB=PA﹣PB=4,
∴OC=OB=OA=2,
∴tan∠COB= =,
∴∠COB=60°,
∵OC=OB,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=120°.
(3)解:如图3中,作LH⊥AB于H,设KL交AP于N.CF交AB于M.
∵∠AFC=180°﹣∠ADC=60°,∠ACF=60°,
∴△ACF是等边三角形,
由(1)可知,AC=AF=CF=6,∠CAP=30°,
∵∠CAF=60°,
∴∠CAN=∠FAN=30°,
∴AN⊥CF,
∴CN=
∵OL=LF=,
在Rt△OHL中,∠OHL=90°,∠HOL=60°,
∴OH=OL= ,HL= ,
∵LH∥FN,OL=LF,
∴OH=HM=,
∵AM=ACcos30°=6×=3,HL=FM=,
∴
∵AL⊥LK,
∴∠AHL=∠ALN=90°,
∵∠LAH=∠LAN,
∴△AHL∽△ALN,
∴,
∴,
∴HN=AN﹣AH=,NM=HM﹣HN=,
∵HL∥KM,
∴,
∴,
∴MK=1,
∴AK=
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【题目】若矩形的一个短边与长边的比值为,(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形
(1)操作:请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方形AEFD.
(2)探究:在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是,请予以证明;若不是,请说明理由.
(3)归纳:通过上述操作及探究,请概括出具体有一般性的结论(不需证明)
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 一个游戏的中奖概率是,则做10次这样的游戏一定会中奖
B. 为了解全国中学生的心理健康情况,应该采用普查的方式
C. 一组数据6,8,7,8,8,9,10的众数和中位数都是8
D. 若甲组数据的方差,乙组数据的方差,则乙组数据比甲组数据稳定
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点、、.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若与抛物线的对称轴交于点,以为圆心,长为半径作圆,与轴的位置关系如何?请说明理由.
(3)过点作的切线,交轴于点,请求出直线的解析式及点坐标.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,tan∠ACB=,将其沿对角线AC剪开得到△ABC和△ADE(点C与点E重合),将△ADE绕点A旋转,当线段AD与AB在同一条直线上时,连接EC,则∠ECB的正切值为_____.
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【题目】已知二次函数的解析式是.
(1)用配方法将化成的形式,并写出该二次函数的对称轴和顶点坐标;
(2)二次函数的图象与x轴相交吗?说明理由;若相交,求出交点坐标.
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【题目】为了有效地落实国家精准扶贫政策,切实关爱贫困家庭学生.某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了调查.发现每个班级都有贫困家庭学生,经统计班上贫困家庭学生人数分别有1名、2名、3名、5名,共四种情况,并将其制成了如下两幅不完整的统计图:
(1)填空:a = ,b= ;
(2)求这所学校平均每班贫困学生人数;
(3)某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中,任选两名进行帮扶,请用列表或画树状图的方法,求出被选中的两名学生来自同一班级的概率.
贫困学生人数 | 班级数 |
1名 | 5 |
2名 | 2 |
3名 | a |
5名 | 1 |
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【题目】从﹣2,﹣,0,4中任取一个数记为m,再从余下的三个数中,任取一个数记为n,若k=mn.
(1)请用列表或画树状图的方法表示取出数字的所有结果;
(2)求正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,点E、点F分别在边AD,BC上,且EF⊥AD,点B关于EF的对称点为G点,连接EG,若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M,则AE的长度为( )
A.3B.C.6+D.6﹣
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