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【题目】在⊙O中,AB为直径,点PAB的延长线上,PC与⊙O相切于点C,点D为弧AC上的点,且2DAB﹣∠P90°,连接AD

1)如图1,求证:弧AD=弧BC

2)如图2PC6PB,求∠ADC度数;

3)如图3,在(2)的条件下,FAB下方⊙O上一点.∠ACF60°LOF中点,LKALL,交CF于点K.连接AK,求AK的长.

【答案】1)见解析;(2)∠ADC120°;(3AK2

【解析】

1)如图1中,连接ODOC.想办法证明∠AOD=∠COB即可.

2)利用相似三角形的性质求出PA,再证明∠COB60°即可解决问题.

3)如图3中,作LHABH,设KLAPNCFABM.首先证明ACF是等边三角形,解直角三角形求出OHHLHN,利用相似三角形的性质求出KM,再利用勾股定理即可解决问题.

1)证明:如图1中,连接ODOC

PC是⊙O的切线,

OCPC

∴∠PCO90°

∴∠P+POC90°

OAOD

∴∠DAB=∠ADO

2DAB﹣∠P90°

180°﹣∠AOD﹣(90°﹣∠POC)=90°

∴∠AOD=∠POC

∴弧AD=弧BC

2)解:如图2中,连接OCBC

AB是直径,PC是切线,

∴∠ACB=∠PCB

OAOC

∴∠OAC=∠OCA

∴∠PCB=∠PAC

∵∠P=∠P

∴△PCB∽△PAC

PC2PBPA

PA

ABPAPB4

OCOBOA2

tanCOB

∴∠COB60°

OCOB

∴△OBC是等边三角形,

∴∠ABC60°

∴∠ADC180°﹣∠ABC120°

3)解:如图3中,作LHABH,设KLAPNCFABM

∵∠AFC180°﹣∠ADC60°,∠ACF60°

∴△ACF是等边三角形,

由(1)可知,ACAFCF6,∠CAP30°

∵∠CAF60°

∴∠CAN=∠FAN30°

ANCF

CNNF AC3

OLLF

RtOHL中,∠OHL90°,∠HOL60°

OHOL HL

LHFNOLLF

OHHM

AMACcos30°3HLFM

ALLK

∴∠AHL=∠ALN90°

∵∠LAH=∠LAN

∴△AHL∽△ALN

HNANAHNMHMHN

HLKM

MK1

AK

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贫困学生人数

班级数

1

5

2

2

3

a

5

1

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A.3B.C.6+D.6

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