Question

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点P在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上，PQ∥AB．当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．

Answer 1

分析 由勾股定理易求AC的长，再根据三角形周长的定义及已知条件△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等得到点P、Q分别是AC边、BC边的中点，证明△CPQ∽△CAB，再由相似三角形的对应边成比例即可求出CP的长．

解答 解：
∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4，
∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，
∴PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ，
∴PC+CQ=PA+AB+QB，
又∵PC+CQ+PA+AB+QB=AC+BC+AB，
∴PC+CQ=PA+AB+QB=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）=6，
∴CQ=6-CP，
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴CP：CA=CP：4，
∴$\frac{CP}{4}=\frac{6-CP}{3}$．
解得CP=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度中等，熟记相似三角形的各种判定方法是解题的关键．