Question

【题目】如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=BC，连接BD，作CE⊥AB于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，且CE=DF．

（1）求证：AB=AC；
（2）如果∠ABD=105°，求∠A的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CE⊥AB，DF⊥BC，

∴△BCE和△DCF均是直角三角形，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），

∴∠ABC=∠DCF，

∵∠DCF=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC

（2）解：∵CD=BC，

∴∠CBD=∠CDB，

∵∠ACB=∠CBD+∠CDB，

∴∠ACB=2∠CBD，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=2∠CBD，

∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°，

∴∠CBD=35°，

∴∠ABC=2∠CBD=70°，

∴∠A=180°﹣2∠ABC=40°

【解析】（1）先由HL判定Rt△BCE≌Rt△CDF，得到∠ABC=∠DCF，然后由对顶角相等可得：∠DCF=∠ACB，进而可得∠ABC=∠ACB，然后由等角对等边，可得AB=AC；（2）由CD=BC，可得∠CBD=∠CDB，然后由三角形的外角的性质可得：∠ACB=∠CBD+∠CDB=2∠CBD，由∠ABC=∠ACB，进而可得：∠ABC=2∠CBD，然后由∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°，进而可求：∠CBD的度数及∠ABC的度数，然后由三角形的内角和定理即可求∠A的度数．