Question

抛物线y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若点P（x₁，b）与点Q（x₂，b）在（1）中的抛物线上，且x₁＜x₂，PQ=n．
①求4x12-2x2n+6n+3的值；
②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是______．

Answer 1

（1）解法一：∵抛物线y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）与y轴交于点C，
∴C（0，-3），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC，
∴B（3，0）或B（-3，0），
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴抛物线经过点B（3，0），
∴0=9m+3（m-3）-3，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
解法二：令y=0，∴mx²+（m-3）x-3=0．∴（x+1）（mx-3）=0．
∴x=-1，x=

3

m

，
∵m＞0，点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（

3

m

，0），
令x=0，可得y=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵OB=OC，
∴

3

m

=3，
∴m=1，
∴y=x²-2x-3．
（2）①由抛物线y=x²-2x-3可知对称轴为x=1，
∵点P（x₁，b）与点Q（x₂，b）在这条抛物线上，且x₁＜x₂，PQ=n，
∴x₁=1-

n

2

，x₂=1+

n

2

，
∴2x₁=2-n，2x₂=2+n，
∴原式=（2-n）²-（2+n）n+6n+3=7．
②
结合图形可得当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是：-4＜b＜-2或b=0．