Question

（1）如图1，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB=10，CD=8，求AE的长．
（2）如图2，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长度．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．
（2）先过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．

解答：解：（1）∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．
∴CE=

1

2

CD=4．
在直角△OCE中，OE=

OC2-CE2

=

52-42

=3．
则AE=OA-OE=5-3=2；

（2）如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠AOP=∠COP，
∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，
又∵PC=4，
∴PE=

1

2

PC=

1

2

×4=2，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，
∴PD=PE=2．

点评：此题考查了垂经定理和30°角的直角三角形，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、直角三角形中0°角所对的直角边等于斜边的一半，关键是作辅助线构造出含30°的直角三角形．