Question

已知△ABC中，AB=AC，CH是AB边上的高，且CH=

3

5

AB，则tanB=

1

3

或3

．

Answer 1

分析：作高AD，根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，设AB=5x，则CH=

3

5

AB=3x，根据三角形面积公式有

1

2

AD•BC=

1

2

CH•AB，即2BD•AD=15x²，根据勾股定理得到BD²+AD²=AB²=25x²，然后进行等式变形有（BD+AD）²-2BD•AD=25x²，即（BD+AD）²-15x²=25x²，（BD-AD）²+2BD•AD=25x²，即（BD-AD）²+15x²=25x²，易得BD+AD=2

10

x，BD-AD=

10

x或AD-BD=

10

x，可求出
BD=

3

2

10

x，AD=

1

2

10

x或AD=

3

2

10

x，BD=

1

2

10

x，然后在Rt△ABD中根据正切的定义得到tanB=

AD

BD

，再把DB与AD的值代入计算即可．

解答：解：如图，作高AD，
∵AB=AC，
∴BC=2BD，
设AB=5x，则CH=

3

5

AB=3x，
∵

1

2

AD•BC=

1

2

CH•AB，
∴2BD•AD=15x²，
∵BD²+AD²=AB²=25x²，
∴（BD+AD）²-2BD•AD=25x²，即（BD+AD）²-15x²=25x²，
∴BD+AD=2

10

x，
∴（BD-AD）²+2BD•AD=25x²，即（BD-AD）²+15x²=25x²，
∴BD-AD=

10

x或AD-BD=

10

x，
∴BD=

3

2

10

x，AD=

1

2

10

x或AD=

3

2

10

x，BD=

1

2

10

x，
在Rt△ABD中，tanB=

AD

BD

，
∴tanB=

1 2 10 x

3 2 10 x

=

1

3

或tanB=

3 2 10 x

1 2 10 x

=3．
故答案为：

1

3

或3．

点评：本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及代数式的变形能力．