Question

【题目】如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值；如果不存在,请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）E(3，1),F(1，2);（2）；（3）存在，最小四边形MNFE的周长最小值是5+．

【解析】分析：（1）△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，则CF=3-2=1，因而E、F的坐标就可以求出．（2）顶点为F的坐标根据第一问可以求得是（1，2），因而抛物线的解析式可以设为y=a（x-1）2+2，以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF是腰和底边两种情况进行讨论．

①当EF是腰，EF=PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐标．当EF是腰，EF=EP时，可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的距离，P才存在．

②当EF是底边时，EP=FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的值．

（3）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．

本题解析：(1)E(3,1);F(1,2).

(2)在Rt△EBF中,∠B=90，∴EF=

设点P的坐标为(0,n)，其中n>0，∵顶点F(1,2)，

∴设抛物线解析式为y=a(x1) +2(a≠0).

①如图1，

当EF=PF时, ，

∴.

解得 (舍去); .

∴P(0,4).

∴4=a(01) +2.

解得a=2.

∴抛物线的解析式为y=2(x1) +2

②如图2，

当EP=FP时,EP=FP，∴(2n) +1=(1n) +9.解得n= (舍去)

③当EF=EP时,EP=<3，这种情况不存在。

综上所述,符合条件的抛物线解析式是y=2(x1) +2.

(3)存在点M,N,使得四边形MNFE的周长最小。

如图3,作点E关于x轴的对称点E′,作点F关于y轴的对称点F′，

连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点。

∴E′(3,1),F′(1,2),NF=NF′,ME=ME′.∴BF′=4,BE′=3.

∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=.

又∵EF=，

∴FN+MN+ME+EF=5+,此时四边形MNFE的周长最小值是5+.