Question

已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S的理由．

Answer 1

分析：由AC=BC，∠ACB=90°，即可求得∠A=∠B=45°，即可证得：∠ECF=∠B，又由∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1，可证得：∠BCE=∠2，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△ACF∽△BEC，根据三角形面积的求解方法，则可证得：AF•BE=2S．

解答：证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，
∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；
∴∠BCE=∠2，
∵∠A=∠B，
∴△ACF∽△BEC．
∴

AC

BE

=

AF

BC

，
∴AC•BC=BE•AF，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

BE•AF，
∴AF•BE=2S．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．解此题的关键是要注意数形结合思想的应用．