【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,,的坐标分别为,,.点和点分别从点和点同时出发沿轴正方向运动,同时点从点出发沿轴正方向运动,以,为邻边构造,已知点,的运动速度均为,点的运动速度为,运动时间为.过点的抛物线交轴于另一点(点在点的右侧),,且该二次函数的最大值不变,均为.
(1)①当时,求的长;(用含的代数式表示);②当时,求点的坐标;
(2)当时,试判断点是否恰好落在抛物线上,并说明理由;
(3)若点关于直线的对称点恰好落在抛物线上,请求出所有满足条件的的值.
【答案】(1)①;②;(2)不在抛物线上,见解析;(3)1
【解析】
(1)①分别表示出点P与点E的坐标,即可得到PE的表达式;②当时,可得E,P,D的坐标,结合,为邻边构造的性质,即可求解;
(2)线求出点P,H的坐标,设抛物线的表达式为:,利用待定系数法,求出二次函数解析式,再求出点F的坐标,代入函数解析式验证,即可得到结论;
(3)先求出二次函数的解析式(含参数t),再分两种情况:①当时,②当时,分别求出点Q的坐标,进而即可求出t的值.
(1)①∵点,的运动速度均为,点的运动速度为,运动时间为.
∴P(-8+2t,0),E(-5+t,0),
∵,
∴-8+2t<-5+t,
∴;
②∵当时,E(1,0),P(4,0),D(0,4),
∴EP=3,OD=4,
∵以,为邻边构造,如图所示,
∴DF∥EP,DF=EP=3,
∴;
(2)∵当时,,
∴点坐标为,
∵,
∴点坐标为,
设抛物线的表达式为:,
把,代入,得,
∴,
当时,,,
∴点坐标为,
∵当时,,
∴点不在抛物线上;
(3)∵P(-8+2t,0),H(-2+2t,0),
∴抛物线的对称轴为:直线x=-5+2t,
∵该二次函数的最大值为,
设,
把P(-8+2t,0)代入,解得:a=,
∴过点的抛物线的表达式为:,
① 当时,
连接PQ交FE的延长线于点M,连接QE,则∠PME=90°,
∵EF∥PD,
∴∠MPC=90°
∵P(-8+2t,0),D(0,-8+2t),
∴OP=OD,
∴∠OPD=45°,
∴∠MPE=45°,
由对称性,可知:∠MPE=∠MQE=45°,PE=QE=3-t,
∴∠PEQ=180°-45°-45°=90°,
∴Q(-5+t,3-t),
∵恰好落在抛物线上,
∴,解得:t1=1,t2=3(舍去),
②当时,
∵P(-8+2t,0),E(-5+t,0),
∴PE=t-3,
同理可得:∠PEQ=90°,∠MPE=∠MQE=45°,PE=QE=t-3,
∵Q在第三象限或第四象限,
∴Q(-5+t,3-t),
∵恰好落在抛物线上,
∴,解得:t1=1(舍去),t2=3(舍去),
综上所述:点关于直线的对称点恰好落在抛物线上时,t的值为1.
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【题目】某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?
(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围.在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
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【题目】已知点P(,)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算.
例如:求点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离.
解:因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.
所以点P(﹣1,2)到直线y=3x+7的距离为:d== = =.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点P(1,﹣1)到直线y=x﹣1的距离;
(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0,5),半径r为2,判断⊙Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由;
(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行,求这两条直线之间的距离.
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【题目】一方有难,八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭,除了医务人员主动请缨逆行走向战场外,众多企业也伸出援助之手.某公司用甲,乙两种货车向武汉运送爱心物资,两次满载的运输情况如下表:
甲种货车辆数 | 乙种货车辆数 | 合计运物资吨数 | |
第一次 | 3 | 4 | 29 |
第二次 | 2 | 6 | 31 |
(1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资;
(2)目前有46.4吨物资要运输到武汉,该公司拟安排甲乙货车共10辆,全部物资一次运完,其中每辆甲车一次运送花费500元,每辆乙车一次运送花费300元,请问该公司应如何安排车辆最节省费用?
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【题目】“校园手机”现象越来越受到社会的关注,小记者张明随机调查了某校若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法,制作了如图所示的统计图.
(1)这次调查的学生人数是________名,家长人数是________名;
(2)补全两个统计图;
(3)针对随机调查的情况,张明决定从九(1)班表示赞成的4名家长中随机选择2名进行深入调查,其中包含小亮的爸爸和妈妈,小亮的爸爸和妈妈被同时选中的概率是________.
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【题目】已知点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解,tan∠BAO=.
(1)求点A的坐标;
(2)点E在y轴负半轴上,直线EC⊥AB,交线段AB于点C,交x轴于点D,S△DOE=16.若反比例函数y=的图象经过点C,求k的值;
(3)在(2)条件下,点M是DO中点,点N,P,Q在直线BD或y轴上,是否存在点P,使四边形MNPQ是矩形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF∥MN,小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向,然后沿河岸走了30米,到达B处,测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号)
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【题目】某印刷厂的打印机每5年需淘汰一批旧打印机并购买新机,买新机时,同时购买墨盒,每盒150元,每台新机最多可配买24盒;若非同时配买,则每盒需220元.
公司根据以往的记录,十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如表:
消耗墨盒数 | 22 | 23 | 24 | 25 |
打印机台数 | 1 | 4 | 4 | 1 |
(1)以这十台打印机消耗墨盒数为样本,估计“一年该款打印机正常工作5年消耗的墨盒数不大于24”的概率;
(2)试以这10台打印机5年消耗的墨盒数的平均数作为决策依据,说明购买10台该款打印机时,每台应统一配买23盒墨还是24盒墨更合算?
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【题目】我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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