如图.三角板的直角顶点P在射线OM上.∠AOB=90°.OM是∠AOB的角平分线(1)若直角边分别与射线OA.OB交于点C.D.①求证:PC=PD,②连接CD.交OP于点G.且CG:DG=1:2.OD=1.试求OP的长．(2)若点P在射线OM上移动.一直角边与射线OB交于点D.OD=1.另一直角边与直线OA.直线OB分别交于点C.E.使以点P.D.E为顶点的三角形与△OCD相似.请直接写出OP� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，三角板的直角顶点P在射线OM上，∠AOB=90°，OM是∠AOB的角平分线
（1）若直角边分别与射线OA、OB交于点C、D，
①求证：PC=PD；
②连接CD，交OP于点G，且CG：DG=1：2，OD=1，试求OP的长．
（2）若点P在射线OM上移动，一直角边与射线OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，使以点P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请直接写出OP的长．

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）①过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证；
②设DP=k，易证CD=

k．通过相似三角形（△OPD∽△DPG）的对应边成比例知，

，即

，所以OP=

；
（2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时；

解答：

（1）①证明：如图1，过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠FPD-∠1=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠FPD-∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，

∠CFP=∠DEP

PE=PF

∠1=∠2

，
∴△CFP≌△DEP（ASA），
∴PC=PD；
②解：设DP=k，易证CD=

k．
∵CG：DG=1：2，
∴DG=

k．
由△OPD∽△DPG知，

，
∴

，
∴OP=

；

（2）解：①若PC与边OA相交，

如图2所示．
∵∠PDE＞∠CDO
令△PDE∽△OCD
∴∠CDO=∠PED
∴CE=CD
∵CO⊥ED
∴OE=OD
∴OP=

ED=OD=1
②若PC与边OA的反向延长线相交，如图3所示．
过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
∵∠PED＞∠EDC
令△PDE∽△ODC
∴∠PDE=∠ODC
∵∠OEC=∠PED
∴∠PDE=∠HCP
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND
∴HC=ND，PC=PD

∴∠PDC=45°
∴∠PDO=∠PCH=22.5°
∴∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=22.5°
∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=

x
∴HC=DN=OD-ON=1-

x
∵HC=HO+OC=

x+x
∴1-

x+x
∴x=

-1
即OP=

-1

点评：本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，根据三角形相似或全等得出线段之间以及角之间的关系是解题的关键．

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