Question

12．如图，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A在第一象限内，△ABC是正三角形，点D是直线y=x-2$\sqrt{3}$上第一象限内一点，△DBC和△ABC面积相等，则点D的坐标是（6，6-2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根据直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2求出B、C两点的坐标，然后根据勾股定理求出CB的长，故可得出tan∠BCO的值，可得出∠BCO的度数，即可求得A的坐标，然后根据△DBC和△ABC面积相等得出AD∥BC，G根据待定系数法求得直线AD的解析式，然后求得与直线y=x-2$\sqrt{3}$的交点即可．

解答 解：∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2与x轴、y轴分别交于C、B两点，
令y=0，则-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2=0，解得x=2$\sqrt{3}$，
∴C（2$\sqrt{3}$，0），
令x=0，则y=2，
∴B（0，2）；
∴OC=2$\sqrt{3}$，OB=2，
在Rt△CBO中，CB=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=4
∴tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BCO=30°
又∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC=4，∠BCA=60°，
当C点在x轴的上方时，∠OCA=90°
∴CA∥OB，
∴A点坐标为（2$\sqrt{3}$，4），
∵△DBC和△ABC面积相等，
∴AD∥BC，
设直线AD为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
代入A（2$\sqrt{3}$，4）得：4=-2+b，
∴b=6，
∴直线AD为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+6}\\{y=x-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=6-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴D（6，6-2$\sqrt{3}$），
故答案为：（6，6-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、三角形的面积等知识，难度适中．