Question

【题目】已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°

（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；

（2）如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；

（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）36°;（2）EF＝2AD,见解析；（3），见解析.

【解析】

（1）由等腰三角形的性质得出∠AEB=∠ABE=63°，由三角形内角和定理得出∠EAB=54°，推出∠EAB+2∠BAC+∠FAC=180°，即可得出结果；

（2）延长AD至H，使DH=AD，连接BH，由中线的性质得出BD=CD，由SAS证得△BDH≌△CDA得出HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD，得出AC∥BH，由平行线的性质得出∠ABH+∠BAC=180°，证得∠EAF=∠ABH，由SAS证得△ABH≌△EAF，即可得出结论；

（3）由（2）得，AD=EF，又点G为EF中点，得出EG=AD，由（2）△ABH≌△EAF得出∠AEG=∠BAD，由SAS证得△EAG≌△ABD得出∠EAG=∠ABC=70°，由已知得出∠EAB+2∠BAC+∠CAF=180°，推出∠BAC=55°-∠CAF，由三角形内角和定理得出∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=110°-∠ACB，即可得出结果．

（1）∵AE＝AB，

∴∠AEB＝∠ABE＝63°，

∴∠EAB＝54°，

∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，

∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，

∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，

∴∠FAC＝36°；

（2）EF＝2AD；理由如下：

延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，如图1所示：

∵AD为△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△BDH和△CDA中，，

∴△BDH≌△CDA（SAS），

∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，

∴AC∥BH，

∴∠ABH+∠BAC＝180°，

∵∠EAF+∠BAC＝180°，

∴∠EAF＝∠ABH，

在△ABH和△EAF中，，

∴△ABH≌△EAF（SAS），

∴EF＝AH＝2AD；

（3）；理由如下：

由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，

∴EG＝AD，

由（2）△ABH≌△EAF，

∴∠AEG＝∠BAD，

在△EAG和△ABD中，，

∴△EAG≌△ABD（SAS），

∴∠EAG＝∠ABC＝70°，

∵∠EAF+∠BAC＝180°，

∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，

即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，

∴∠BAC+∠CAF＝55°，

∴∠BAC＝55°﹣∠CAF，

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，

∴55°﹣∠CAF＝110°﹣∠ACB，

∴∠ACB﹣∠CAF＝55°．