Question

8．在平行四边形ABCD中，BC=8，F为AD的中点，点E是边AB上一点，连结CE恰好有CE⊥AB．
（1）当∠B=60°时，求CE的长．
（2）当AB=4时，求∠AEF：∠EAF：∠EFD．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出∠BEC=90°，∠BCE=30°，得出BE=$\frac{1}{2}$BC=4，由勾股定理求出CE即可；
（2）取BC的中点G，连接FG交CE于O，证出四边形ABGF和四边形CDFG都是菱形，且O为CE的中点，得出∠AEF=∠EFG，∠DFC=∠CFG，OF为CE的中垂线，得出∠EFG=∠CFG，因此∠EFD=3∠AEF，得出∠FAE=∠EFD-∠AEF=2∠AEF，即可得出结论．

解答 解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$；
（2）取BC的中点G，连接FG交CE于O，连接CF，如图所示：
∵BC=8，AB=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABGF和四边形CDFG都是菱形，且O为CE的中点，
∴∠AEF=∠EFG，∠DFC=∠CFG，OF为CE的中垂线，
∴EF=CF，
∴∠EFG=∠CFG，
∴∠EFD=3∠AEF，
∴∠FAE=∠EFD-∠AEF=2∠AEF，
∴∠AEF：∠EAF：∠EFD=1：2：3．

点评 本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；本题综合性较强，特别是（2）中，需要通过作辅助线才能得出结论．