Question

10．如图所示，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=3$\sqrt{2}$cm．求：
（1）试说明BD′平分∠ABC；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；
（3）直接写出点D′到BC的距离$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$cm．

Answer 1

分析 （1）过D′作D′G⊥BC于G，D′H⊥AB于H，根据直角三角形的性质得到AE=CE=DE，根据翻折的性质得到∠DAE=∠EAD′=60°，AD=AD′，推出AC垂直平分ED′，于是得到CE=CD′=AD′，得到∠D′AH=∠D′CG，证得△AHD′≌△CGD′，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，此时DP+EP值为最小，进而得出答案；
（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．

解答 解：（1）过D′作D′G⊥BC于G，D′H⊥AB于H，∵∠DAC=90°，点E为CD边上的中点，∴AE=CE=DE，∴∠DAE=∠ADE=60°∠ECA=∠EAC=30°，∵将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点，∴∠DAE=∠EAD′=60°，AD=AD′，∴∠FAD′=30°，∴AC垂直平分ED′，∴CE=CD′=AD′，∴∠ACD′=30°∴∠D′AH=∠D′CG，在△AHD′与△CGD′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D′AH=∠D′CG}\\{∠AHD′=∠CGD′}\\{AD′=CD′}\end{array}\right.$，∴△AHD′≌△CGD′，∴D′H=D′G，∴BD′平分∠ABC；
（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，
∴∠ADC=60°，
∵E为CD边上的中点，
∴DE=AE，
∴△ADE为等边三角形，
∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，
∴△AD′E为等边三角形，
∠AED′=60°，
∵∠EAC=∠DAC-∠EAD=30°，
∴∠EFA=90°，
即AC所在的直线垂直平分线段ED′，
∴点E，D′关于直线AC对称，
连接DD′交AC于点P，
∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′，
∵△ADE是等边三角形，AD=AE=2$\sqrt{3}$，
∴DD′=2×$\frac{1}{2}$AD×$\sqrt{3}$=2×3=6，
即DP+EP最小值为6cm；

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，
∵AC垂直平分线ED′，
∴AE=AD′，CE=CD′，
∵AE=EC，∴AD′=CD′=2$\sqrt{3}$，
在△ABD′和△CBD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BD′=BD′}\\{AD′=CD′}\end{array}\right.$，
∴△ABD′≌△CBD′（SSS），
∴∠D′BG=45°，
∴D′G=GB，
设D′G长为xcm，则CG长为（3$\sqrt{2}$-x）cm，
在Rt△GD′C中
x²+（3$\sqrt{2}$-x）²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x₁=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
∴点D′到BC边的距离为（$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$）cm．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$cm．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系以及等边三角形的判定与性质等知识，利用垂直平分线的性质得出点E，D′关于直线AC对称是解题关键．