Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点E、F分别为边BC，AC的中点
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．
（2）若BC=10cm，求DF的长．
（3）若BC=10cm，且∠C=30°，求四边形AEFD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵点E、F分别为边BC，AC的中点，
即EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB，
即EF∥AD，
∵AD=AB，
∴EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，
∴AE=BC=×10=5（cm），
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE=5cm；

（3）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，
∴AE=EC=BC=×10=5（cm），
∵EF∥AB，∠BAC=90°，
∴∠EFC=90°，
∵∠C=30°，
∴EF=EC=cm，CF=CE•cos∠C=5×=（cm），
∵点F边AC的中点，
∴AF=CFcm，
∴S_△AEF=AF•EF=××=（cm²），
∴S_{四边形AEFD}=2S_△AEF=cm²．
分析：（1）由点E、F分别为边BC，AC的中点，可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=AB，又由AD=AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．
（2）由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AE的长，又由平行四边形的对边相等，即可求得DF的长．
（3）首先求得EF，AE，CE的长，又由∠C=30°，即可求得EF，CF的长，继而可求得△AEF的面积，则可求得四边形AEFD的面积．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．