Question

16．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D在坐标轴上，其坐标分别为（2，0），（0，4），对角线AC⊥x轴．
（1）求直线DC对应的函数解析式
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过DC的中点M，请判断这个反比例函数的图象是否经过点B，并说明理由．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AC，垂足为E．先证明△DAO∽△DCE，依据相似三角形的性质可求得EC=1，从而可求得EC的长，故此可得到点C的坐标，设直线DC的解析式为y=kx+4，将点C的坐标代入求解即可；
（2）过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC．先证明△DEC≌△BAF，从而可求得点B的坐标，然后再求得反比例反函数比例系数k的值，然后根据点B的坐标是否符合函数解析式进行判断即可．

解答 解：（1）如图所示：过点D作DE⊥AC，垂足为E．

∵DE⊥AC，AC∥y轴，
∴∠EDO=90°．
∴∠EDA+∠ODA=90°．
又∵ABCD为矩形，
∴∠CDE+∠ADE=90°．
∴∠CDE=∠ODA．
又∵∠DOA=∠DEC=90°，
∴△DAO∽△DCE．
∴$\frac{DE}{OD}$=$\frac{CE}{AO}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{EC}{2}$，解得EC=1．
∴C（2，5）．
设直线DC的解析式为y=kx+4，将点C的坐标代入得：2k+4=5，解得k=$\frac{1}{2}$．
∴直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4．
（2）过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC．

∵DE⊥AC，BF⊥AC．
∴∠DEC=∠BFA=90°．
∵DC∥AB，
∴∠DCE=∠FAB．
在△DEC和△BAF中$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠BFA}\\{∠DCE=∠FAB}\\{DC=AB}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△BAF．
∴DE=BF=2，EC=AF=1．
∴B（4，1）．
∵D（0，4），C（2，5），
∴CD中点M的坐标为（1，$\frac{9}{4}$）．
∴k=1×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{4}$．
∵4×1=4≠$\frac{9}{4}$，
∴点B不在反比例函数图象上．

点评 本题主要考查的是矩形的性质、反比例函数的性质、全等三角形的性质和判定，求得点C和点B的解析式是解题的关键．